Karakteristik Model Matematika

Karakteristik Model Matematika 

Proses pemodelan mencakup pemilihan karakteristik dari perwakilan abstrak yang paling tepat bagi situasi yang sedang dikaji . Pada umumnya model matematika dapat diklasifikasikan menjadi dua bagian, yaitu model statik dan model dinamik. Model statik memberikan informasi tentang peubah-peubah model hanya pada titik tunggal dari waktu. Sedangkan model dinamik mampu menelusuri jalur waktu dari peubah-peubah model. Model dinamik lebih sulit dan mahal pembuatannya, namun mempunyai kekuatan yang lebih hebat untuk analisis dunia nyata.

Klasifikasi lain tergantung apakah model abstrak tersebut meng-gunakan pandangan mikro atau makro. Model mikro bertujuan untuk mempernyatakan suatu unit individu yang ada pada dunia nyata, sebagai contoh sebuah mobil pada aliran transportasi atau seorang pembeli pada antrian pasar. Pada model makro, unit individu kehilangan identitasnya karena peubah model secara khas dikaitkan dengan agregat dari unit sistem. Contoh dari pandan­gan makro adalah peubah pada aliran listrik, kecepatan aliran mobil pada jalan raya dan aliran bahan dan pelayanan pada struktur ekonomi.

Ditinjau dari cara klasifikasinya maka model abstrak dapat dikelompokkan menjadi: (i) mikro-statik, (ii) makro-statik, (iii) mikro-dinamis, dan (iv) makro-dinamis. Penggunaan model- model ini tergantung pada tujuan pengkajian sistem dan terlihat jelas pada formulasi permasalahan pada tahap evaluasi kelayakan. 

Sifat model juga tergantung pada teknik pemodelan yang digunakan. Model yang mendasarkan pada teknik peluang dan memperhitungkan adanya ketidak pastian (uncertainty)disebut model probabilistik atau model stokastik. Pada ilmu sistem model ini sering digunakan karena masalah yang dikaji pada umumnya megandung keputusan yang mengandung ketidak-menentuan. Lawan dari model ini adalah model kuantitatif yang tidak memper­timbangkan peluang kejadian, dikenal sebagai model determinis­tik. Contohnya adalah model pada "program linear". Model ini memusatkan penelaahannya pada faktor-faktor kritis yang diasum­sikan mempunyai nilai yang eksak dan tertentu pada waktu yang spesifik. Sedangkan model probabilistik biasanya mengkaji ulang data atau informasi yang terdahulu untuk menduga peluang kejadi­an tersebut pada keadaan sekarang atau yang akan datang dengan asumsi terdapat relevansi pada jalur waktu.

Dalam hal-hal tertentu, sebuah model dibuat hanya untuk semacam deskripsi matematik dari kondisi dunia nyata. Model ini disebut model deskriptif dan banyak dipakai untuk mempermudah penelaahan suatu permasalahan. Model ini dapat diselesaikan secara eksak serta mampu mengevaluasi hasilnya dari berbagai pilihan data input. Apabila model digunakan untuk memperband­ingkan antar alternatif, maka model disebut model optimalisasi. Solusi dari model ini merupakan nilai optimum yang tergantung pada kriteria input yang digunakan. Sebagai teladan adalah "Program Dinamik dan Goal Programming"; sedangkan model deskrip­tif yang hanya memper-nyatakan pilihan peubah adalah persamaan regresi multi-variate.

Apabila sistem telah diekspresikan dalam bentuk no-tasi matematika dan format persamaan, maka timbullah keuntungan yang berasal dari kapasitas manipulatif dari matematik. Seorang analis dapat memasukkan nilai-nilai yang berbeda-beda ke dalam model matematika dan kemudian mempelajari perilaku sistem terse­but. Pada pengkajian ma-salah-masalah tertentu, uji sensitifi­tas dari sistem dilakukan dengan pengubahan peubah-peubah sistem itu sendiri. 

Bahasa simbolik juga sangat membantu dalam komunikasi karena pernyataannya yang singkat dan jelas dibanding­kan dengan deskripsi lisan. Penggunaan format matematika mem­buat penjelasan lebih komprehensif dan seringkali mampu mengung­kapkan hubungan-hubungan yang tidak dapattercermin pada deskrip­si lisan dari suatu sistem. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa pemodelan sistem (System Modelling) adalah pembentukan rangkaian logika untuk menggambarkan karakteristik sistem terse­but dalam format matematis. Oleh karena itu, proses ini sering disebut juga pemodelan abstrak (abstract modelling) karena hasilnya adalah gugus persamaan-persamaan yang saling berkaitan secara fungsional. Pada beberapa jenis sistem, proses pemodelan abstrak ini lebih mudah pengerjaannya, seperti model biofisik dan keteknikan. 

Tahapan Dalam Pemodelan

Para ahli penelitian operasional dan ilmu sistem te-lah mem-berikan konsepsi dan teknik pemodelan sistem. Para ahli ini menya rankan untuk mengawali pemodelan dengan penguraian seluruh komponen yang akan mempengaruhi efektivitas dari operasi sistem. Setelah daftar komponen tersebut lengkap, langkah selanjutnya adalah penyaringan komponen mana yang akan dipakai dalam pengka­jian tersebut. Hal ini umumnya sulit karena adanya interaksi antar peubah yang seringkali menyulitkan isolasi suatu peubah. Peubah yang di-pandang tidak penting ternyata bisa saja mempenga­ruhi hasil studi setelah proses pengkajian selesai. Untuk menghindarkan hal ini, diper lukan percobaan pengujian data guna memilih komponen-komponen yang kritis. Setelah itu dibentuk gugus persamaan yang dapat dievaluasi dengan merubah-rubah komponen tertentu dalam batas-batas yang diperkenankan. Salah satu contoh pemodelan seperti ini adalah Program Linear (Linear Programming) dan Program Dinamik (Dynamic Programming).

Dalam konteks pendekatan sistem, tahap-tahap pemodel-annya lebih kompleks namun relatif terlalu beragam, baik ditinjau dari jenis sistem ataupun tingkat kecanggihan model. Manetsch dan Park (1984) mengembangkan tahap pemodelan abstrak ini seba­gai bagian dari pendekatan sistem. 

Pemodelan abstrak menerima input berupa alternatif sistem yang layak. Proses ini membentuk dan mengimplementasikan model-model matematika yang dimanfaatkan untuk merancang program terpilih yang akan dipraktekkan di dunia nyata pada tahap beri­kutnya. Output utama dari tahap ini adalah deskripsi terinci dari keputusan yang diambil berupa perencanaan, pengendalian atau kebijakan lainnya. 

Tahap Seleksi Konsep

Lazimnya langkah awal dari pemodelan abstrak adalah melaku­kan seleksi alternatif hasil dari tahap evaluasi kelayakan. Seleksi ini dilakukan untuk menetukan alternatif-alternatif mana yang bermanfaat dan bernilai cukup besar untuk dilakukan pemode­lan abstraknya. Hal ini erat kaitannya dengan biaya dan penam­pakan dari sistem yang dihasilkan. Interaksi dengan para pen­gambil keputusan serta pihak lain yang amat terlihat pada sistem sangat diperlukan dalam tahap seleksi ini.

Tahap Pemodelan

Sebagai langkah awal dari pemodelan adalah menetapkan jenis model abstrak yang akan digunakan, sejalan dengan tujuan dan karakteristik sistem. Setelah itu, aktivitas pemodelan terpusat pada pem bentukan model abstrak yang realistik. Dalam hal ini ada dua cara pendekatan untuk membentuk suatu model abstrak, yaitu:

Pendekatan Kotak Hitam (Black box)

Metode ini digunakan untuk melakukan identifikasi model sistem dari data yang menggambarkan perilaku masa lalu dari sistem (past behavior of the existing system). Melalui berbagai teknik statistik dan matematik, maka model yang paling cocok (fit) dengan data operasional dapat diturunkan. Sebagai contoh adalah model ekonometrik pada pengkajian ilmu-ilmu sosial. Metoda ini tidak banyak berguna pada perancangan sistem yang kenyataannya belum ada, dimana tujuan sistem masih berupa konsep. 

Pendekatan Struktural

Metode ini dimulai dengan mempelajari secara teliti struktur sistem untuk menentukan komponen basis sistem serta keterkaitannya. Melalui pemodelan karakteristik dari komponen sistem serta kendala-kendala yang disebabkan oleh adanya keterkaitan antara komponen, maka model sitem keseluruhan dapat disusun secara berantai. Pendekatan struktural ini banyak digunakan dalam rancang-bangun dan pengendalian sistem fisik dan non fisik.

Dalam beberapa kasus tertentu, kedua pendekatan ini dipakai secara bersama-sama, misalnya pembuatan model pengendalian industri dimana karakteristik setiap unit industri dianggap kotak hitam . Dengan demikian penggunaan dua pendekatan tersebut dapat memberikan informasi lebih baik serta menghasilkan model yang lebih efektif dari pada memakai hanya salah satu pendekatan saja. Tahap permodelan ini mencakup juga penelaahan secara teliti tentang :

1. asumsi model

2. konsestensi internal pada struktur model

3. data input untuk pendugaan parameter 

4. hubungan fungsional antar peubah kondisi aktual

5. memperbandingkan model dengan kondisi aktual sejauh mungkin .

Hasil dari tahapan ini adalah deskripsi model abstrak yang telah melalui uji permulaan taraf validitasnya.

Tahap Implementasi Komputer

Pemakaian komputer sebagai pengolah data, penyimpan data dan komunikasi informasi tidak dapat diabaikan dalam pendekatan sistem ; model abstrak diwujudkan dalam berbagai bentuk persa­maan, diagram alir dan diagram blok. Tahap ini seolah-olah membentuk model dari suatu model, yaitu tingkat abstraksi lain yang ditarik dari dunia nyata. Hal yang penting di sini adalah memilih teknik dan bahasa komputer yang digunakan untuk imple­mentasi model. Masalah ini akan mempengaruhi :

1. Ketelitian dari hasil komputasi

2. Biaya operasi model

3. Kesesuaian dengan komputer yang tersedia

4. Efektifitas dari proses pengambilan keputusan yang akan meng-gunakan hasil pemodelan tersebut.

Setelah program komputer dibuat dan format input /output telah dirancang secara memadai, maka sampailah pada tahap pem­buktian (verifikasi) bahwa model komputer tersebut mampu melaku­kan simulasi dari model abstrak yang dikaji. Pengujian ini mungkin berbeda dengan uji validitas model itu sendiri.

Tahap Validasi

Validasi model pada hakekatnya merupakan usaha untuk me­nyimpulkan apakah model sistem tersebut di atas merupakan per­wakilan yang sah dari realitas yang dikaji sehingga dapat diha­silkan kesimpulan yang meyakinkan. Validasi merupakan proses iteratif yang berupa pengujian berturut-turut sebagai proses penyempurnaan model . Umumnya validasi dimulai dengan uji sederhana seperti pengamatan atas:

1. tanda aljabar (sign) 

2. kepangkatan dari besaran (order of magnitude)

3. format respon (linear, eksponensial, logaritmik, 

4. arah perubahan peubah apabila input atau parameter diganti-ganti

5. nilai batas peubah sesuai dengan nilai batas parameter sistem.

Setelah uji-uji tersebut, dilakukan pengamatan lanjutan sesuai dengan jenis model. Apabila model mempernyatakan sistem yang sedang berlaku (existing system) maka dipakai uji statis­tik untuk mengetahui kemampuan model dalam mereproduksi perilaku masa-lalu dari sistem. Uji ini dapat menggunakan koefisien determinasi, pembuktian hipotesis, dan sebagainya. Seringkali dijumpai kesulitan pada tahap ini karena kurangnya data yang tersedia ataupun sempitnya waktu yang tersedia guna melakukan validasi. Pada permasalahan yang kompleks dan mendesak, maka disarankan proses validasi parsial, yaitu tidak dilakukan pengu­jian keseluruhan model sistem. Hal ini mengakibatkan rekomenda­si untuk pemakaian model yang terbatas (limited application) dan apabila perlu menyarankan penyempurnaan model pada pengkajian selanjutnya.

Validitas model hanya bergantung pada bermacam teori dan asumsi yang menentukan struktur dari format persamaan pada model serta nilai-nilai yang ditetapkan pada parameter model. Umumnya disarankan untuk melakukan uji sensitivitas dari koefisien model melalui iterasi simulasi pada model komputer. Di sini dipela­jari dampak perubahan koefisien model terhadap output sistem. Informasi yang didapat akan digunakan untuk menentukan priori­tas pengumpulan informasi lanjutan, koleksi data, perbaikan estimasi dari koefisien penting dan penyempurnaan model itu sendiri. Usaha ini akan berperan banyak dalam menyeimbangkan aktivitas perekayasaan model dan aktivitas pengumpulan informa­si, yang prinsipnya mencari efisien waktu, biaya dan tenaga untuk studi sistem tersebut. Model yang digunakan untuk perancangan keputusan dan menen­tukan kebijakan operasional akan mencakup sejumlah asumsi, misalnya asumsi tentang karakteristik operasional dari komponen serta sifat alamiah dari lingkungan. Asumsi-asumsi tersebut harus dimengerti betul dan dievaluasi bilamana model digunakan untuk perancangan atau operasi. Manipulasi dari model dapat menuju pada modifikasi model untuk mengurangi kesenjangan antara model dengan dunia nyata. Proses validasi ini mempunyai pola berulang seperti metode ilmiah lainnya. Proses validasi seyogyanya dilakukan kontinyu sampai kesimpulan bahwa model telah didukung dengan pembuktian yang memadai melalui pengukuran dan observasi. Suatu model mungkin telah mencapai status valid (absah) meskipun masih menghasilkan kekurang-beneran output. Di sini model adalah absah karena konsistensinya, dimana hasilnya tidak bervariasi lagi.

Istilah verifikasi dan validasi sering digunakan secara sinonim dalam kaitannya dengan model simulasi, meskipun masing- masing mempunyai aplikasi yang berbeda. Secara literal "to verify" berarti menetapkan kebenaran atau kebaikan atau keabsa­han, sehingga verifikasi model berkenaan dengan penetapan apakah model merupakan perwakilan yang benar dari suatu realita. Sementara itu, "validasi" tidak terlalu banyak berhubungan dengan kebenaran suatu model, tetapi lebih berhubungan dengan apakah model efektif atau sesuai untuk mencapai tujuan yang telah ditetapkan. Dengan demikian suatu model divalidasi dalam hubungannya dengan tujuan penyusunannya, sedangkan model diveri­fikasi dalam hubungannya dengan kebenaran mutlak.

Analisis Sensitivitas

Tujuan pokok analisis ini dalam proses pemodelan adalah untuk menentukan peubah keputusan mana yang cukup penting untuk dikaji lebih lanjut dalam tahap aplikasi model. Peubah keputu­san ini dapat berupa parameter rancang-bangun atau input yang terkendali. Analisis ini mampu menghilangkan faktor yang kurang penting sehingga studi lebih dapat ditekankan pada peubah kebi­jakan kunci serta memperbaiki efisiensi proses pengambilan keputusan. Pada beberapa kasus, dengan mengetahui peubah yang kurang mempengaruhi penampakan output sistem, maka akan dapat dikurangi pengaruh kendala sistem.

Analisis Stabilitas

Sistem dinamik sudah sering diketahui mempunyai pe-rilaku tidak stabil yang bersifat destruktif untuk beberapa nilai parameter sistem. Analisis untuk identifikasi batas kestabilan dari sistem diper-lukan agar parameter tidak diberi nilai yang bisa megarah pada perilaku tidak stabil apabila terjadi peruba­han struktur dan lingkungan sistem. Perilaku tidak stabil ini dapat berupa fluktuasi random yang tidak dapat mempunyai pola atau berupa nilai output yang eksplosif sehingga besarannya tidak realistik lagi. Analisis stabilitas dapat menggunakan studi analitis berdasar teori stabilisasi, atau menggunakan simulasi secara berulang-kali untuk mempelajari batasan stabili­tas sistem. 

Aplikasi Model 

Para pengambil keputusan merupakan aktor utama dalam tahap ini, dimana model dioperasikan untuk mempelajari secara mendalam kebijakan yang sedang dikaji . Mereka berlaku sebagai pengarah dalam proses kreatif-interaktif ini, yang juga melibatkan para analis sistem serta spesialis dari beragam bidang keilmuan. Apabila tidak terdapat kriteria keputusan yang khas seperti maksimisasi atau minimisasi, proses interaktif tersebut dapat menuju kepada suatu pengkajian normatif yang bertalian dengan trade-off antar peubah-peubah sistem. Lebih jauh, dapat dite­tapkan pula kebijakan untuk secara efisien menilai kombinasi antar beberapa output sistem.