Sistem Persamaan Yang Ekuivalen
Sejauh ini kalian sudah tahu bahwa mengalikan suatu persamaan dengan bilangan yang sama atau menggunakan penjumlahan dan pengurangan pada kedua ruas persamaan akan selalu menghasilkan persamaan lain yang ekuivalen, dan solusinya pun sama. Sifat ini bisa dijabarkan lebih jauh dan diterapkan pada sistem-sistem persamaan. Gagasan tentang sistem persamaan yang ekuivalen juga sama dan ada banyak cara untuk memperoleh sistem yang ekuivalen.
Dalam penjelasan berikut ini kita akan mempelajari beberapa contoh tentang cara membentuk persamaan yang ekuivalen dan kita pun akan menggunakan sistem itu untuk menyelesaikan beberapa contoh soal yang mungkin akan kalian hadapi.
Contoh
1) Kalian diberi dua sistem persamaan berikut ini:
2x + y = 5 dan -5x – 2y = -6
-3x – y = -1 dan -5x – 2y = -6.
Tunjukkan bahwa x=-4 dan y=13 merupakan solusi untuk kedua sistem itu, dan buktikan bahwa sistem kedua ekuivalen dengan sistem pertama.
2) Kedua bilangan tersebut berjumlah 12, sedangkan selisihnya 8. Carilah suatu sistem persamaan yang dapat digunakan untuk menemukan dua bilangan itu dan tentukan nilainya.
Solusi dan penjelasan
1) Dengan melakukan subtitusi ke persamaan pertama kita peroleh -8 + 13 = 5 dan 20 – 26 = -6, yang kedua-duanya benar. Perlakuan yang sama terhadap sistem kedua menghasilkan 12 – 13 = -1 and 20 – 26 = -6, yang juga benar. Sekarang kita sudah buktikan bahwa solusi (himpunan penyelesaian) tersebut berlaku untuk kedua sistem. Seperti terlihat, persamaan kedua juga sama, yang berarti bahwa persamaan pertama dari sistem kedua pasti diturunkan dari sistem pertama.
Kita bisa dengan mudah melihat bahwa dengan menambahkan dua persamaan ke dalam sistem pertama secara bersama-sama kita peroleh 2x – 5x + y – 2y = 5 – 6, atau -3x – y = -1, yang ekuivalen dengan persamaan pertama dari sistem kedua. Fungsi ini juga valid untuk perkalian, pengurangan, atau pembagian. Dengan kata lain, dengan menggantikan salah satu persamaan dari suatu sistem persamaan dengan jumlah atau hasil akhir dari kedua persamaan itu, kita akan memperoleh suatu sistem yang memiliki solusi yang sama.
2) Ini salah satu contoh latihan soal yang akan sering kalian temui dalam aljabar. Membentuk sebuah sistem yang terdiri dari dua persamaan memang mudah jika kita, secara cermat, mememeriksa syarat-syarat soal latihan itu. Kita bisa menuliskan bagian pertamanya sebagai x + y = 12. Perbedaannya bisa ditulis sebagai x – y = 8. Mencari himpunan penyelesaian untuk sistem seperti itu selalu berhasil jika menggunakan metode substitusi, tetapi karena koefisien y dalam persamaan kedua merupakan kebalikan dari koefisien y dalam persamaan pertama, kita dapat menggunakan fungsi yang baru saja kita buktikan. Mengganti persamaan pertama dengan jumlah kedua persamaan memberikan sistem tersebut 2x = 20 dan x-y = 8. Menyelesaikan sistem ini jauh lebih mudah daripada cara awal dan kita bisa dengan mudah memperoleh x = 10 dan y = 2.
Sejauh ini kalian sudah tahu bahwa mengalikan suatu persamaan dengan bilangan yang sama atau menggunakan penjumlahan dan pengurangan pada kedua ruas persamaan akan selalu menghasilkan persamaan lain yang ekuivalen, dan solusinya pun sama. Sifat ini bisa dijabarkan lebih jauh dan diterapkan pada sistem-sistem persamaan. Gagasan tentang sistem persamaan yang ekuivalen juga sama dan ada banyak cara untuk memperoleh sistem yang ekuivalen.
Dalam penjelasan berikut ini kita akan mempelajari beberapa contoh tentang cara membentuk persamaan yang ekuivalen dan kita pun akan menggunakan sistem itu untuk menyelesaikan beberapa contoh soal yang mungkin akan kalian hadapi.
Contoh
1) Kalian diberi dua sistem persamaan berikut ini:
2x + y = 5 dan -5x – 2y = -6
-3x – y = -1 dan -5x – 2y = -6.
Tunjukkan bahwa x=-4 dan y=13 merupakan solusi untuk kedua sistem itu, dan buktikan bahwa sistem kedua ekuivalen dengan sistem pertama.
2) Kedua bilangan tersebut berjumlah 12, sedangkan selisihnya 8. Carilah suatu sistem persamaan yang dapat digunakan untuk menemukan dua bilangan itu dan tentukan nilainya.
Solusi dan penjelasan
1) Dengan melakukan subtitusi ke persamaan pertama kita peroleh -8 + 13 = 5 dan 20 – 26 = -6, yang kedua-duanya benar. Perlakuan yang sama terhadap sistem kedua menghasilkan 12 – 13 = -1 and 20 – 26 = -6, yang juga benar. Sekarang kita sudah buktikan bahwa solusi (himpunan penyelesaian) tersebut berlaku untuk kedua sistem. Seperti terlihat, persamaan kedua juga sama, yang berarti bahwa persamaan pertama dari sistem kedua pasti diturunkan dari sistem pertama.
Kita bisa dengan mudah melihat bahwa dengan menambahkan dua persamaan ke dalam sistem pertama secara bersama-sama kita peroleh 2x – 5x + y – 2y = 5 – 6, atau -3x – y = -1, yang ekuivalen dengan persamaan pertama dari sistem kedua. Fungsi ini juga valid untuk perkalian, pengurangan, atau pembagian. Dengan kata lain, dengan menggantikan salah satu persamaan dari suatu sistem persamaan dengan jumlah atau hasil akhir dari kedua persamaan itu, kita akan memperoleh suatu sistem yang memiliki solusi yang sama.
2) Ini salah satu contoh latihan soal yang akan sering kalian temui dalam aljabar. Membentuk sebuah sistem yang terdiri dari dua persamaan memang mudah jika kita, secara cermat, mememeriksa syarat-syarat soal latihan itu. Kita bisa menuliskan bagian pertamanya sebagai x + y = 12. Perbedaannya bisa ditulis sebagai x – y = 8. Mencari himpunan penyelesaian untuk sistem seperti itu selalu berhasil jika menggunakan metode substitusi, tetapi karena koefisien y dalam persamaan kedua merupakan kebalikan dari koefisien y dalam persamaan pertama, kita dapat menggunakan fungsi yang baru saja kita buktikan. Mengganti persamaan pertama dengan jumlah kedua persamaan memberikan sistem tersebut 2x = 20 dan x-y = 8. Menyelesaikan sistem ini jauh lebih mudah daripada cara awal dan kita bisa dengan mudah memperoleh x = 10 dan y = 2.
0 komentar:
Post a Comment