Persamaan dan Fungsi Kuadrat: Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Dengan Metode Aljabar

Menyelesaikan persamaan kuadrat merupakan proses singkat apabila kita dapat memfaktorkan pernyataan yang mengandung variabel yang akan dicari. Yang perlu dilakukan adalah menggunakan salah satu dari dua rumus berikut ini: (x + y)²  = x²+ 2xy + y², or (x – y)² = x² – 2xy + y².

Selain itu, menyelesaikan persamaan kuadrat akan menjadi semakin rumit jika kita tidak sanggup menerapkan rumus seperti itu secara langsung, atau dengan kata lain, jika kuadratnya bukan merupakan faktor dan tidak dapat ditarik akar kuadratnya. Maka, kita dapat menggunakan sebuah metode yang dikenal sebagai Metode Kuadrat Sempurna, yang pada dasarnya berarti kita memanipulasi persamaan itu sedemikian hingga diperoleh bentuk yang kita inginkan. Contoh di bawah ini akan membantu kalian memahami manfaat metode seperti itu.

Contoh
Tentukan nilai x pada persamaan berikut:

1) x² + 6x + 4 = 0;

2) x² – 4x – 8 = 0;

Solusi dan penjelasan

1) Bilangan 4 merupakan bilangan kuadrat sempurna, sehingga rumus terdekat yang dapat kita pikirkan untuk contoh ini adalah (x + 2)², yang sama dengan x² + 4x + 4. Namun, rumus ini tidak akan berhasil, karena metode "lengkapi kuadratnya" yang akan kita gunakan hanya memanipulasi ‘c’ dalam ax²+ bx + c = 0. Apa yang dapat kita lakukan adalah memikirkan kuadrat mana yang mengandung x² + 6x. (x + 3)² = x² + 6x + 9, sehingga kita dapat tambahkan 5 pada persamaan awal kita dan menghasilkan x² + 6x + 9 = 5, atau (x + 3)²= 5. Bentuk ini sudah siap untuk penarikan akar kuadrat, jadi langkah terakhir kita adalah menerapkan akar kuadrat pada kedua ruas. Kita perlu melakukannya secara cermat, karena sering kali kita lupa memasang tanda negatif. Terutama, akar kuadrat dari 9 bisa saja -3 atau 3. Karena itu, ada dua kasus yang perlu kita perhitungkan setelah menerapkan akar kuadrat.
Kasus pertama adalah x + 3 = akar kuadrat dari 5, yang dapat menjadi x = akar kuadrat dari 5 – 3. Kasus lainnya adalah x + 3 = akar kuadrat dari -5, yang menjadi x = akar kuadrat dari -5 – 3.

2) Contoh ini lebih rumit, karena dua tanda minus tersebut menjadikan persamaan berbeda dari dua rumus yang kami kemukakan pada paragraf pertama pelajaran ini. Tetapi sekali lagi, langkah pertama adalah mencari kuadrat yang mengandung x² – 4x. Dapat dilihat bahwa (x - 2)² = x² – 4x + 4. Supaya memasukkan 4 dalam persamaan awal kita, kita harus menambahkan 12 di kedua ruas sehingga diperoleh x² – 4x + 4 = 12. Rumus ini dapat ditulis ulang sebagai (x – 2)² = 12. Sekali lagi, dari kedua kasus ketika menerapkan akar kuadrat, dapat dilihat bahwa x – 2 sama dengan entah akar kuadrat dari –12 atau akar kuadrat dari 12. Jadi, dua solusinya (himpunan penyelesaian) adalah: x = akar kuadrat dari -12 + 2 dan x = akar kuadrat dari 12 + 2. Catatan: akar kuadrat dari 12 dapat juga ditulis sebagai 2* akar kuadrat dari 3.