Persamaan dan Fungsi Kuadrat: Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan inspeksi dan faktorisasi

Ada berbagai cara penyelesaian persamaan kuadrat. Umumnya, hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan metode yang disebut 'metode kuadrat sempurna' dan pemfaktoran. Keduanya merupakan konsep umum yang dipakai untuk menyajikan persamaan dalam bentuk yang lebih mudah diselesaikan.

Salah satu teori yang akan digunakan untuk menyelesaikan soal persamaan kuadrat dalam contoh di bawah ini adalah bahwa semua persamaan kuadrat dapat ditulis dalam bentuk (x – x₁) * (x – x₂) = 0, di mana x₁ dan x₂ merupakan dua solusinya. Jika kita dapat memanipulasi salah satu persamaan kuadrat tersebut sedemikian rupa, kita mudah menemukan solusinya. Sifat lain dalam persamaan kuadrat yang akan digunakan adalah dua bentuk berikut ini: (x – y)² = x²– 2xy + y² dan (x + y)² = x² + 2xy + y². Mari kita simak beberapa contoh yang menggunakan sifat-sifat persamaan ini.
Contoh

Tentukan nilai x pada persamaan berikut:

1) x² - 16= 0;

2) x² + 5x – 14 = 0; 

3) x² + 4x - 3 = 0.

Solusi dan penjelasan

1) Ini contoh persamaan kuadrat paling sederhana dan dapat diselesaikan dengan mudah menggunakan rumus yang diturunkan dari kedua rumus dasar di atas, x² – y² = (x + y) * (x – y). Dengan menerapkan rumus ini pada contoh pertama, kita dapat menulis ulang persamaannya sebagai (x – 4) * (x + 4) = 0. Sekarang, sudah jelas bahwa dua solusinya adalah x = 4 dan x = -4.

2) Contoh ini sedikit lebih rumit daripada yang pertama, tetapi dapat juga diselesaikan dengan menulis ulang persamaannya dan menerapkan salah satu rumus dasar dalam dua paragraf pertama pelajaran ini. Dapat dilihat bahwa x² – 2x + 7x -14 = 0 ekuivalen dengan bentuk awal. Cara ini lebih menguntungkan karena sekarang kita dapat menggunakan pemfaktoran, sebagai berikut: x(x – 2) + 7(x – 2) = 0. Karena terdapat faktor yang sama, yaitu (x-2), maka kita dapat menulis ulang persamaan menjadi (x – 2) (x + 7) = 0. Sekarang, sudah jelas bahwa dua solusi untuk persamaan kuadrat ini adalah x = 2 and x = -7.

3) Ini salah satu contoh yang menunjukkan bahwa penyelesaian kuadrat tersebut dapat dilakukan dengan mudah. Kuadrat terdekat dari persamaan kuadrat ini adalah (x + 2)² = x² + 4x + 4. Dengan demikian, kita dapat menambahkan y pada kedua ruas persamaan itu sehingga menghasilkan x²+ 4x + 4 = 7. Jika kita tulis ulang, kita peroleh (x + 2)² = 7. Selanjutnya, yang perlu kita lakukan jika ingin memperoleh hasil akhir adalah menerapkan akar kuadrat, yang menghasilkan dua kasus: x + 2 = sqrt(7) dan x + 2 = -sqrt(7).

Kita dapat dengan mudah membalikkan kasus pertama sehingga menjadi x = sqrt(7) – 2, sedangkan untuk kasus kedua, x = -sqrt(7) – 2. Inilah dua solusi untuk persamaan kuadrat yang terakhir ini.