Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linier Dua Variabel, dan Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel: Menyelesaikan Persamaan Linear Secara Aljabar

Menyelesaikan sistem persamaan linear secara aljabar

Biasanya, sistem persamaan linear dapat diselesaikan dengan dua metode. Metode pertama adalah cara langsung, yaitu dengan melakukan subtitusi variabe, yang akan dibahas lebih lanjut di bawah ini. Kemudian, ada juga beberapa cara tak langsung (atau iteratif), yang menggunakan matriks dan teknik lainnya; sangat berguna untuk menyelesaikan soal-soal rumit.

Contoh
Tentukan nilai x dan y dalam sistem persaman linear berikut ini:
1) x + y = 2 dan x – y = 4;

2) 2x + y = 7 dan 5y – 3x = 9;

3) x + 3y = 6 dan 2x + 6y = 10;

Solusi dan penjelasan

1) 1) Jelas, ada kemiripan antara kedua persamaan dalam sistem pertama di atas. Koefisiennya tetap sama dan yang berubah hanyalah bentuk operasi penjumlahan; menjadi pengurangan. Coba kita selesaikan sistem tersebut, pertama-tama melalui substitusi. Persamaan pertama dapat diubah menjadi x = 2 – y. (operasi invers). Dengan memasukkan nilai x ini ke dalam persamaan kedua, kita peroleh (2 – y) – y = 4, yang selanjutnya menghasilkan 2 – 2y = 4. Sekarang, nilai y mudah diperoleh (2y = -2, maka y = 1). Langkah terakhir adalah menggunakan salah satu dari dua persamaan itu untuk menggantikan nilai y untuk menentukan nilai x. Misalnya, dengan y pertama, diperoleh x – 1 = 2, maka x = 3.

Namun demikian, ada cara yang lebih cepat untuk menyelesaikan sistem seperti ini. Karena koefisien y dalam persamaan pertama berkebalikan dengan koefisien y dalam persamaan kedua, kita bisa juga menjumlahkan kedua persamaan ini, sehingga diperoleh 2x + 0y = 6, atau x = 3. Selanjutnya, kita bisa terapkan langkah terakhir di atas untuk menentukan nilai y (misalnya, 3 – y = 4 => y = -1).

2) Sayangnya, solusi di atas tidak berfungsi untuk sistem persamaan linear seperti yang satu ini. Yang bisa kita lakukan adalah mengalikan persamaan pertama dengan -5, misalnya, yang akan menghasilkan -5 dan 5 sebagai koefisien y. Di sini, penjumlahan terhadap kedua persamaan tersebut bisa dilakukan, tetapi sebagai gantinya kita akan menyelesaikan contoh kedua menggunakan metode substitusi, yang lebih mudah. Kita ubah persamaan pertama menjadi y = 7 – 2x. Dengan memasukkan nilai y ini ke dalam persamaan kedua, kita peroleh 5(7 – 2x) – 3x = 9. Pada titik ini, kita hanya perlu menjabarkan tanda kurung, yang akan menghasilkan 35 – 10x – 3x = 9, atau 35 – 13x = 9. Sekarang, nilai x mudah ditentukan melalui fungsi 13x = 35 – 9 = 26. Hasilnya, x = 2.

3) Ada yang berbeda dalam contoh ketiga ini. Seperti bisa dilihat, mengalikan persamaan pertama dengan 2 akan menghasilkan koefiesien yang sama untuk x dan y, tetapi dengan nilai yang berbeda di ruas kanan persamaan tersebut. Ini berarti bahwa sistem persamaan ini tidak terpecahkan. Jika mencoba menyelesaikannya, kita akan peroleh nilai x = 6 – 3y untuk persamaan pertama. Menggantikan nilai ini ke dalam persamaan kedua menghasilkan 2(6 - 3y) + 6y = 10, atau 12 – 6y + 6y = 10. Dengan kata lain, 12 = 10. Tentu saja salah, dan berarti tidak ada solusi untuk sistem persamaan khusus ini.