Barisan dan Deret: Deret Geometri

Barisan  tak berhinggae adalah sebuah daftar nilai yang terus menerus berlanjut. Contoh : 2, 4, 6, 8, 10,...  merupakan barisan tak berhingga. Barisan berhingga adalah sebuah daftar nilai yang jumlahnya berhingga. Contoh : Bilangan asli dari 1 sampai  n :  1, 2, 3, 4,...,n merupakan barisan berhingga yang terdiri atas n  suku. Lebih lanjut, sebarang suku dari suatu barisan dapat ditulis sebagai :

x1,x2,x3,...,xn−1,xn

dimana x₁ adalah suku pertama, x₂ adalah suku kedua, dan  x_n adalah suku ke- n 

Perhatikan barisan berikut ini :

0, 5, 10, 15, 20,...

Sangat mudah untuk mengetahui bagaimana barisan ini terbentuk. Barisan di atas dimulai dengan angka 0 dan suku selanjutnya diperoleh dengan cara menambahkan angka 5 pada suku sebelumnya. Adapun angka 5 ini diperoleh dengan cara mengurangkan setiap 2 suku yang berurutan. Lebih lanjut, barisan di atas disebut dengan barisan aritmatika. Barisan aritmatika adalah sebuah barisan dimana selisih antara dua suku yang berurutan besarnya konstan. Selanjutnya, selisih dua suku ini dinotasikan dengan b dan disebut sebagai selisih umum. Pada contoh diatas, dapat dilihat bahwa b = 5 . Dengan demikian, barisan tersebut dapat ditulis sebagai berikut : a, a + d, a + 2d, a + 3d,... dimana a = 0 adalah suku pertama. Selanjutnya, karena selisih antara dua suku yang berurutan adalah konstan (sama), maka : 

x2−x1=x3−x2=...=xn+1−xn=d

Dengan demikian, rumus suku ke n dari barisan aritmatika adalah : U_n = a + b(n-1) dimana a adalah suku pertama.

Kita sekarang akan mengeksplorasi topik yang diinginkan, deret ukur. Perhatikan urutan berikut:

3, 6, 12, 24, 48,...

Setiap suku dalam urutan ini adalah 2 kali periode sebelumnya. Hal ini dikenal sebagai deret ukur. Sebuah deret geometri adalah urutan di mana rasio antara dua suku yang berurutan adalah konstan. Rasio ini, r, dikenal sebagai rasio umum.Dengan kata lain, setiap suku adalah nilai konstan kali suku sebelumnya. Dengan demikian, kita bisa menulis ulang urutan diatas dengan r = 2 sebagai 

3,3×2,6×2,12×2,24×2,...

dan dapat disederhanakan lebih lanjut sebagai berikut:

3,3×2,3×22,3×23,3×24,...

dimana a adalah suku pertama dan r adalah rasio umum. Karena rasio antara dua suku berturut-turut adalah sama kita mendapatkan

x2x1=x3x2=...=xn+1xn=r

rumus untuk n dari deret geometri adalah x_n = ar^n-1.

CONTOH 1:

Cari r untuk deret geometri dimana tiga suku pertama adalah 4, 12, 36.

SOLUSI:

r=x2x1=124=3

CONTOH 2: 

Cari r untuk deret geometri dimana tiga suku pertama adalah

92,94,98.

SOLUSI:

r=x2x1=9492=94×29=24=12

CONTOH 3:

Berapa suku yang terdapat pada deret geometri 5, 10, 20,...,320?

SOLUSI:

Untuk mencari suku ke n^th dari deret geometri kita menggunakan rumus x_n = ar^n-1. Kita juga diberi suku ke n dari deret ini adalah 320, a = 5, dan kita mendapatkan

r=x2x1=105=2

Jadi dengan menggunakan rumus untuk memecahkan untukn,

320=5×2n−164=2n−126=2n−16=n−1n=7