Eksponen dan Logaritma: Menyelesaikan persamaan eksponensial

Memecahkan Persamaan eksponensial
Anda dapat dengan mudah mengetahui bahwa Anda berurusan dengan persamaan eksponensial ketika variabel yang akan Anda pecahkan merupakan eksponen dari bilangan lain. Contoh, sebuah persamaan dari bentuk 2^x = 16 adalah sebuah persamaan eksponensial, karena variabel x yang tidak diketahui adalah kekuatan dari bilangan 2 natural.

Jadi bagaimana kita mencari x dari persamaan di atas?  Kita menggunakan kebalikan dari fungsi eksponensial, disebut logaritma. Logaritma dari sebuah bilangan x dengan mengacu pada basis y adalah eksponen yang harus dinaikkan supaya kita mendapatkan x. Dengan kata lain, log_ba = c (dinyatakan sebagai 'logaritma terhadap basis y dari a’) memberikan penyelesaian c terhadap persamaan b^c = a. Basis yang paling umum untuk logaritma adalah 10 dan e. Malahan, hal ini sangat umum sehingga anda bahkan tidak perlu untuk menentukan basisnya; notasi log akan berubah. Jika anda ingin mencari sebuah logaritma dari sebuah bilangan x pada basis 10 anda hanya perlu menulis log(x). Hal serupa, logaritma dari x terhadap basis e biasanya disebut dengan ln(x), atau logaritma natural dari x.

Contoh
Cari x dalam persamaan berikut:
1) 3^x = 27;
2) 10 * 10^x = 152;
3) 2^x * 3^x* 9 = 324;
4) 200 * e^0.04x= 450.

Penyelesaian dan penjelasan
1) Karena variabel x adalah eksponen dari bilangan 3, kita menulis ulang persamaannya di dalam bentuk logaritma. Ini akan memberi kita x = log₃27. Menggunakan kalkulator, kita dapat dengan mudah menemukan bahwa jawaban untuk x adalah 3.

2) Guna menulis persamaan ini dalam bentuk logaritma kita perlu untuk menyederhanakannya hanya menjadi 3 syarat: bilangan, eksponen dan hasil. Kita menyingkirkan 10 dengan membagi keseluruhan persamaan dengan 10: 10 * 10^x = 152 | 10 yang akan menghasilkan 10^x = 15.2, sebuah bentuk persamaan eksponensial yang telah kita jumpai sebelumnya. Sekarang yang perlu dilakukan adalah menuliskan logaritma untuk persamaan x = log (15.2) dan menghitung x. Ingat, kita tidak perlu menulis basis, karena untuk basis 10 hal ini adalah notasi implisit. Hasilnya adalah 1.1818.

3) Sama seperti contoh di atas, kita perlu menyederhanakan persamaannya pada syarat yang memiliki eksponen variabel. Kita mulai dengan membagi semuanya dengan 9: 2^x* 3^x * 9 = 324 | 9 dan mendapatkan bentuk ini: 2^x * 3^x = 36. Sekarang kita memiliki 2 syarat pada sisi kiri tanda sama dengan. Kita bisa lihat dengan mudah bahwa keduanya sama-sama memiliki eksponen yang sama, x, jadi sekarang yang dapat dilakukan adalah mengalikannya dan memertahankan eksponennya. Sekarang kita memiliki 6^x = 36, sebuah bentuk yang jauh lebih sederhana dan umum. Jadi pertanyaannya adalah berapa kali 6 harus dikalikan dengan dirinya sendiri untuk menghasilkan 36? Untuk menemukan jawabannya, kita menulis ulang persamaan ke dalam bentuk logaritmanya dan mendapatkan x = log₆36. Jelas sekali, jawabannya adalah 2.

4) 200 * e^0.04x= 450
Kita mulai dengan membagi keseluruhan persamaan dengan 200 guna menyisakan bagian-bagian yang dapat dikelola, untuk dapat diubah ke dalam sebuah logaritma. Hal ini akan memberi kita e^0.04x = 2.25. Jawaban kita adalah eksponen dari e, jadi untuk menghitungnya kita harus terlebih dahulu menulis bentuk logaritmik: 0.04x = ln(2.25). Menggunakan sebuah kalkulator ilmiah, kita menghitung logaritma natural (dari basis e) dari 2.25 dan menyederhanakan persamaannya menjadi 0.04x = 0.81. Hasil dari persamaan ini, dengan satu desimal adalah 20.3.