EKSPONEN DAN LOGARITMA: Menyederhanakan Bentuk Akar

Jika a dan b adalah bilangan riil dan n,m,p dan q adalah bilangan asli, maka bentuk akar yang dihasilkan akan mempunyai sifat-sifat sebagai berikut :

1) Dalam pecahan, penyebut q selalu menjadi pangkat dari akar, sementara pembilang p selalu menjadi pangkat dari bilangan riil a.

apq=ap−−√q$$a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}$$

Contoh :

532=53−−√2=125−−−√$$5^{\frac{3}{2}}=\sqrt[2]{5^3}=\sqrt[]{125}$$

2) Ketika derajat akar dan pangkat dari akar tersebut adalah sama, maka hasil yang diperoleh sama dengan radikannya (bilangan di bawah tanda akar).

(a√n)n=a$${(\sqrt[n]{a})}^n=a$$

Contoh :

(7√3)3=(713)3=733=7$${(\sqrt[3]{7})}^3={(7^{\frac{1}{3}})}^3=7^{\frac{3}{3}}=7$$

3) Akar pangkat n dari perkalian dua buah bilangan sama dengan perkalian antara akar pangkat n dari kedua bilangan tersebut.

ab−−√n=a√nb√n$$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$$

Contoh :

24−−√3=8⋅3−−−√3=8√33√3=23√3$$\sqrt[3]{24}=\sqrt[3]{8\cdot 3}=\sqrt[3]{8}\sqrt[3]{3}=2\sqrt[3]{3}$$

4) Seperti halnya dalam perkalian, akar pangkat n dari pembagian dua buah bilangan sama dengan pembagian antara akar pangkat n dari kedua bilangan tersebut.

ab−−√n=a√nb√n$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$$

Contoh :

916−−−√=9√16−−√=34$$\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}}=\frac{3}{4}$$

5) Jika akar pangkat n dari suatu bilangan dipangkatkan dengan m, maka kita dapat menempatkan m sebagai pangkat dari bilangan tersebut.

(a√n)m=am−−−√n$${(\sqrt[n]{a})}^m=\sqrt[n]{a^m}$$

Contoh :

(8√4)2=82−−√4=16−−√4=2$${(\sqrt[4]{8})}^2=\sqrt[4]{8^2}=\sqrt[4]{16}=2$$

6) Sifat ini digunakan jika derajat dari akar dapat dibagi oleh pangkat dari bilangan riil a.

am−−−√nm=a√n$$\sqrt[nm]{a^m}=\sqrt[n]{a}$$

Contoh :

16−−√6=42−−√3⋅2=4√3$$\sqrt[6]{16}=\sqrt[3\cdot 2]{4^2}=\sqrt[3]{4}$$

7) Dalam kasus akar di dalam akar, kita selalu dapat mengalikan derajat dari kedua akar dan mendapatkan derajat gabungan

a√m−−−√n=a√nm$$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a}$$

Contoh :

11−−√3−−−−√5=11−−√5⋅3=11−−√15$$\sqrt[5]{\sqrt[3]{11}}=\sqrt[5\cdot 3]{11}=\sqrt[15]{11}$$

8) Jika suatu bilangan riil dikalikan dengan suatu akar pangkat n, maka kita dapat menempatkan bilangan riil tersebut ke bawah tanda akar, yaitu dengan memangkatkan bilangan riil tersebut dengan n.

ab√n=anb−−−√n$$a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^{n}b}$$

Contoh :

32√3=33⋅2−−−−√3=27⋅2−−−−√3=54−−√3