Eksponen dan Logaritma: Menyelesaikan Persamaan Dalam Bentuk Akar Sederhana

Menyelesaikan persamaan akar sederhana

Kami sudah perlihatkan cara menggunakan sifat-sifat perkalian, pengurangan, penjumlahan, dan pembagian untuk mengubah suatu persamaan menjadi bentuk lain yang ekuivalen, dan lebih mudah. Hal ini berlaku pula dalam persamaan kuadrat, yang sangat mudah jika digunakan untuk menyelesaikan persamaan akar sederhana. Ada kasus tertentu yang perlu kalian perhatikan, sebagian besarnya akan dibahas dalam contoh-contoh berikut ini. Karena itu, mari kita simak beberapa persamaan akar sederhana.

Contoh

Carilah x pada persamaan berikut ini:

1) Akar kuadrat dari x + 3 = 0;

2) Akar kuadrat dari 2x-4 = 6;

3) 2x - 1 - akar kuadrat dari x = 0.

Solusi dan penjelasan

1) Contoh pertama ini merupakan salah satu situasi di mana mengkuadratkan suatu persamaan dapat memberikan solusi yang tidak ada sebelumnya dan yang tidak berlaku untuk persamaan itu sendiri. Langkah pertama untuk menyelesaikan persamaan ini adalah memindahkan 3 ke ruas sebelah, sehingga mudah dikuadratkan. Maka, kita peroleh akar kuadrat dari x = -3. Kita tahu bahwa akar kuadrat dari suatu bilangan real tidak pernah bernilai negatif, tetapi coba kita perhatikan apa yang terjadi jika kita kuadratkan persamaan itu. Akar kuadrat dari x = -3, dan jika kedua ruas dikuadratkan, maka x = 9.

Terlihat bahwa solusi ini tidak berlaku karena akar kuadrat dari 9 + 3 = 0, salah. Kesimpulannya bahwa ketika mengkuadratkan persamaan, kalian harus selalu menguji hasil yang diperoleh karena hasilnya mungkin tidak pernah ada sebelumnya; baru diperoleh dengan proses pengkuadratan itu.

2) Ini salah satu contoh jika mengkuadratkan suatu persamaan menghasilkan solusi yang valid. Karena kita mencoba mencari solusi nyata, sejak awal kita harus ingat bahwa 2x – 4 harus lebih besar dari 0. Ini berarti bahwa solusinya valid hanya jika x > 2.
Kembali ke pengkuadratan persamaan, kita peroleh 2x – 4 = 36. Persamaan linear ini mudah diselesaikan dan kita pun bisa dengan mudah mengubahnya sehingga 2x = 40, atau x = 20. Solusi ini valid, karena 20 > 2.

3) Contoh terakhir ini adalah salah satu contoh yang menghasilkan persamaan kuadrat dan bukan persamaan linear, ketika kita mengkuadratkan kedua ruas persamaan tersebut. Langkah pertama sebelum mengkuadratkan suatu pernyataan dengan bentuk seperti ini adalah mengisolasi suku berkuadrat. Dalam contoh ini, yang perlu dilakukan adalah menulis ulang persamaan itu sebagai 2x - 1 = akar kuadrat dari x. Sekali lagi, solusinya berlaku hanya jika x > 0 untuk bentuk awal persamaan tersebut.

Dengan mengkuadratkan persamaan ini, kita peroleh 4x² + 4x - 1 = x, atau 4x² + 3x - 1 =0. Ini dapat dirumuskan ulang sebagai 4x² + 4x – x – 1 = 0, atau 4x(x + 1) – (x+1) = 0. Dengan menggunakan aturan pemfaktoran, kita peroleh (x + 1) (4x – 1) = 0. Dengan demikian, dua solusi untuk persamaan kuadrat ini adalah x = -1 dan x = 0.25. Hanya hasil kedua yang valid untuk persamaan akar, s x harus lebih besar dari 0.